Persamaan Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu.
Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
Perhatikan gambar berikut.
Persamaan Lingkaran

Gambar di atas memperlihatkan titik-titik yang membentuk lingkaran dengan jari-jari r dan titik pusat P. Jarak setiap titik yang terdapat pada lingkaran tersebut memiliki jarak yang sama terhadap pusat lingkaran, dan disebut jari-jari lingkaran. Sehingga PA = PB = PC = PD adalah jari-jari (r).

Berdasar gambar diatas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.

Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)
Tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran yang menghubungkan peubah x dan y tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan lingkaran dengan menggunakan rumus jarak titik pusat terhadap titik-titik pembentuk lingkaran yang merupakan jari-jari lingkaran.
Dengan kata lain, persamaan lingkaran ditentukan oleh letak pusat lingkaran dan jari-jari r.

Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0) dan jari-jari r


Jika titik A(x , y) adalah titik sembarang yang terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran = r.
Persamaan Lingkaran dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik A(x , y) atau bisa juga dengan menggunakan rumus phythagoras, perhatikan penjelasan berikut.
rumus jarak titik O(0, 0) ke A(x , y)
OA2 = (x – 0)2 + (y-0)2
OA2 = x2 + y2
    r2 = x2 + y2
Atau bisa juga ditulis
x2 + y2 = r2

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r adalah:

      x2 + y2 = r2     

.

Untuk lebih memahami tentang cara menentukan persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0), pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari 2
Penyelesaian:
Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 2) pada persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0), sehingga diperoleh
      x2 + y2 = r2
⇔ x2 + y2 = 22
⇔ x2 + y2 = 4
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 4

.

Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari √3
Penyelesaian:
Sama dengan contoh sebelumnya,
Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = √3) pada persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0), sehingga diperoleh
      x2 + y2 = r2
⇔ x2 + y2 = (√3)2
⇔ x2 + y2 = 3
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 3

.

Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (3, –4).
Penyelesaian:
Pertama-tama kita cari dulu jari-jarinya (r) dengan menggunakan persamaan lingkaran.
Oleh karena lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik (3, –4) maka dengan menyubstitusikan (3, –4) pada persamaan lingkaran, diperoleh
x2 + y2 = r2 ⇔ 32 + (-4)2 = r2
                  ⇔ 9 + 16 = r2
                  ⇔ 25 = r2
                  ⇔ r2 = 25
Kemudian, substitusikan kembali nilai r2 = 25 pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
x2 + y2 = r2 ⇔ x2 + y2 = 25
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *