Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik (a, b)

Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik (a, b)

Jika titik P(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik A(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari P ke A.
Persamaan Lingkaran dengan pusat (a, b)
Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh
r = jarak A ke B
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
Atau bisa juga ditulis
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah:

      (x – a)2 + (y – b)2 = r2     

.

Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (–1, 2) dengan panjang jari-jari 5.
Penyelesaian:
Dari soal diketahui:
panjang jari-jari (r) = 5
pusat lingkaran P(a,b) = (–1, 2), artinya a = –1 dan b = 2

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 5), nilai a = –1 dan b = 2 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – (–1))2 + (y – 2)2 = 52
⇔ (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

.

Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5, 3) dan melalui (–4, 2).
Penyelesaian:
Dari soal diketahui:
pusat lingkaran (a, b) = (5, 3), artinya a = 5 dan b = 3
lingkaran melalui (–4, 2), artinya x = –4 dan y = 2

Pertama-tama kita cari dulu jari-jarinya (r) dengan mensubtitusikan titik pusat lingkaran (a = 5 dan b = 3) dan titik yang dilalui (x = –4 dan y = 2) pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ ((–4) – 5)2 + (2 – 3)2 = r2
⇔ (–9)2 + (–1)2 = r2
⇔ 81 + 1 = r2
⇔ 82 = r2
Kemudian, substitusikan kembali nilai r2 = 82, dan titik pusat lingkaran (a = 5 dan b = 3) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 5)2 + (y – 3)2 = 81
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 5)2 + (y – 3)2 = 81

.

Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 6) dan menyinggung sumbu X
Penyelesaian:
lingkaran menyinggung sumbu X, artinya bagian bawah lingkarannya menempel pada sumbu x. Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut.
Lingkaran Menyinggung sumbu x
Pada gambar di atas, terlihat bahwa jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat lingkaran terhadap sumbu x, yaitu 6.
Dan pusat lingkaran P(a,b) = (4, 6), artinya a = 4 dan b = 6

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 6), nilai a = 4 dan b = 6 pada persamaan lingkaran dengan pusat (a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 4)2 + (y – 6)2 = 62
⇔ (x – 4)2 + (y – 6)2 = 36
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 4)2 + (y – 6)2 = 36

.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *